En Granada te tendrían que haber puesto las "pegas" pues lo primero q hacen es ver quien es el titular del vehículo, q al no coincidir con el nombre de quien te hace el contrato (en este caso tu mujer) te piden que justifiques los pasos q ha dado ese vehículo en cuanto a documentación... En ese caso tendrías q tener un contrato entre tu mujer como compradora y el verdadero titular de La Coruña como vendedor.
En Castilla la Mancha ya informan o intentar informar al anterior dueño, por lo q es mejor tener las cosas claras q no tengas luego problemas.