Te cuento cual es mi caso, que es muy parecido.
La moto me la vendió una persona, a la que a su vez se la había regalado el dueño verdadero, no estaba a su nombre ni tenía papeles ni ná de ná.
1º Tráfico: Pedir un informe con el nº de matrícula. Ahí ya sabrás como está. Tienes que ir o mandar a un gestor, por tfno no lo facilitan (7 euros).
Con eso ya sabes como está la moto.
2º Compraventa: si está a nombre de tu padre y la quieres rehabilitar al tuyo, contrato privado de compraventa entre tu padre y tú , firmado por los dos, fotocopia DNI de los dos, y liquidación de impuesto de transmisiones (normalmente exento) en hacienda de tu Comunidad Autónoma. Importante tener el justificante de pago aunque sea a 0 euros. Y ahora verás por qué.
3º Tráfico: Pides la rehabilitación, y te exigen demostrar que el vehículo es tuyo, cosa que puedes hacer con el contrato de compraventa y la liquidación de impuesto de transmisiones anterior.
4º I.T.V. para obtener la nueva documentación.
5º Matricular y alta o exención del impuesto municipal.
6º Seguro.
Es importante si quieres recuperar la misma matrícula solicitar rehabilitación y no matriculación como histórico por que entonces la matrícula es especial (eso me dijeron en Tráfico).
Espero haberte ayudado. Un saludo.